Логические задачи для 5 класса с ответами и объяснениями
В подборке шесть задач: о страницах книги, встрече роботов, коде, остатках при делении, доске с домино и среднем результате. Выберите ту, в которой ребёнку уже знакомы нужные темы.
Что понадобится
Для задачи о книге нужны дроби, для роботов — скорость, время и расстояние, для поиска числа — деление с остатком. Значение среднего арифметического объясняется в условии. В задаче с домино нужно считать клетки двух цветов.
Как пользоваться подборкой
Перед вычислениями обсудите, что известно и что нужно найти. После решения проверьте ответ по условию. Если ребёнок считает, что решения нет, попросите объяснить, почему не подойдёт ни один вариант.
1
Сколько страниц в книге?
Задача со звёздочкой
В первый день Саша прочитал треть книги, а во второй — четверть всей книги. После этого осталось прочитать 25 страниц. Сколько страниц в книге? В оба дня прочитано целое число страниц.
Пригодится: Доли и равные части; треть и четверть; умножение и деление. Если дроби ещё незнакомы, сначала разберите рисунок со взрослым.
Подсказка
И треть, и четверть отнесены ко всей книге. Удобно разделить целое на 12 одинаковых частей.
Ответ и разбор
60 страниц.
Треть книги — это 4 из 12 одинаковых частей, четверть всей книги — ещё 3 из 12.
Всего прочитано 7 частей из 12, а осталось 5 частей. Эти пять частей составляют 25 страниц.
На одну часть приходится 25 : 5 = 5 страниц. На всю книгу — 5 × 12 = 60.
Проверка: в первый день 20 страниц, во второй 15. Остаток: 60 − 20 − 15 = 25. Четверть оставшейся после первого дня книги дала бы другое условие.
Вопрос для обсуждения
Попросите показать на полоске из 12 равных частей, почему во второй день закрашиваем три части целого, а не четверть незакрашенного.
2
Встреча двух роботов
Два робота одновременно выехали навстречу друг другу по прямой дорожке длиной 120 метров. Один проезжает 7 метров за минуту, другой — 5 метров за минуту. Скорости постоянны. Через сколько минут они встретятся?
Пригодится: Скорость, время и расстояние; деление 120 на 12.
Подсказка
На сколько метров за одну минуту уменьшается расстояние между роботами?
Ответ и разбор
Через 10 минут.
За минуту первый робот проходит 7 метров, второй — 5. Оба двигаются навстречу, поэтому расстояние между ними уменьшается на 7 + 5 = 12 метров.
Чтобы расстояние между ними сократилось со 120 метров до нуля, нужно 120 : 12 = 10 минут.
За это время роботы проедут 70 и 50 метров. Вместе 120 — длина всей дорожки.
Скорости складываем, потому что оба робота приближаются друг к другу.
Вопрос для обсуждения
Пусть ребёнок сначала объяснит изменение расстояния за одну минуту, а уже затем выбирает действие для всего пути.
3
Код с чётной последней цифрой
Задача со звёздочкой
Код состоит из трёх цифр. Можно использовать 0, 1, 2 и 3, но цифры в одном коде не повторяются. Первая цифра не ноль, последняя — чётная. Сколько разных кодов подходит?
Пригодится: Разряды и чётность цифр; правило умножения в переборе можно разобрать на списке.
Подсказка
Посчитайте отдельно коды, которые заканчиваются на 0, и коды, которые заканчиваются на 2.
Ответ и разбор
10 кодов.
Если последняя цифра 0, первой может быть 1, 2 или 3. Для каждого выбора первой цифры остаются два варианта средней. Получаем 3 × 2 = 6 кодов.
Если последняя цифра 2, первой может быть только 1 или 3: ноль запрещён в начале, а двойка уже занята. Для средней снова два варианта. Получаем 2 × 2 = 4 кода.
Случаи не пересекаются, поэтому складываем: 6 + 4 = 10.
Полный список для проверки: 120, 130, 210, 230, 310, 320; 102, 132, 302, 312.
Вопрос для обсуждения
Почему нельзя сказать «три первые цифры, две средние, две последние» и просто перемножить? Число вариантов зависит от занятой последней цифры.
4
Два остатка
Задумано целое число больше 20 и меньше 40. При делении на 4 оно даёт остаток 1, а при делении на 5 — остаток 2. Найдите число.
Пригодится: Деление с остатком; кратные числа.
Подсказка
Сначала перечислите числа в нужном промежутке с одним из указанных остатков. Затем проверьте второе условие.
Ответ и разбор
37.
Числа между 20 и 40, которые на единицу больше кратного четырём: 21, 25, 29, 33, 37.
Теперь проверяем деление на 5. Остатки по порядку: 1, 0, 4, 3 и 2.
Только 37 имеет второй требуемый остаток. Проверка: 37 = 4 × 9 + 1 и 37 = 5 × 7 + 2.
Число должно быть больше 20 и меньше 40, поэтому сами 20 и 40 не рассматриваем.
Вопрос для обсуждения
Можно начать и с остатка при делении на пять. Сравните два коротких списка: общий ответ должен совпасть.
5
Доска с вырезанной клеткой
Задача со звёздочкой
Квадратная доска состоит из 3 рядов и 3 столбцов клеток. Клетки раскрашены в шахматном порядке; верхняя левая тёмная. Верхнюю среднюю клетку вырезали. Можно ли накрыть все оставшиеся клетки четырьмя домино размером 1 × 2 клетки? Домино можно поворачивать; каждая накрытая пара клеток имеет общую сторону. Наложения и выход за край запрещены.
Пригодится: Шахматная раскраска; подсчёт клеток; подсчёт тёмных и светлых клеток.
Подсказка
Сколько осталось тёмных и светлых клеток? Какие два цвета закрывает одно домино?
Ответ и разбор
Нет, такое покрытие невозможно.
На целой доске 3 × 3 пять тёмных клеток и четыре светлые. Верхняя средняя клетка светлая.
После её удаления остаются пять тёмных и три светлые клетки.
Любые соседние по стороне клетки шахматной раскраски разных цветов. Поэтому одно домино всегда закрывает одну тёмную и одну светлую клетку.
Четыре домино должны закрыть четыре тёмные и четыре светлые клетки. Но светлых осталось только три. Значит, покрыть доску нельзя, хотя общая площадь восьми клеток совпадает с площадью четырёх домино.
Вопрос для обсуждения
Попросите объяснить, почему совпадения площади недостаточно. Здесь важно ещё распределение цветов.
6
Неизвестный результат
Среднее арифметическое результатов четырёх попыток равно 12 очкам. В первых трёх попытках набраны 8, 11 и 15 очков. Сколько очков набрано в четвёртой? Среднее арифметическое — это сумма результатов, делённая на число попыток.
Пригодится: Умножение и деление; определение среднего дано в условии.
Подсказка
Какую сумму четырёх результатов даёт среднее 12?
Ответ и разбор
14 очков.
Если сумму четырёх результатов разделили на 4 и получили 12, сама сумма равна 12 × 4 = 48.
Первые три результата дают 8 + 11 + 15 = 34.
На четвёртую попытку приходится 48 − 34 = 14 очков.
Проверка: (8 + 11 + 15 + 14) : 4 = 48 : 4 = 12. Среднее не означает, что в каждой попытке набрано ровно 12.
Вопрос для обсуждения
Предложите представить четыре одинаковые порции по 12 очков. Эти четыре равные части показывают общую сумму очков. В самих попытках результаты могут различаться.
