По полочкамВыбрать задания

Олимпиадные задачи по математике для 5 класса

Восемь олимпиадных задач по математике для 5 класса: делимость, доли, коды, геометрия и подсчёт в самом неудачном случае. Для ответа важно не только вычисление, но и объяснение, почему других вариантов нет. У каждой задачи есть подсказка и подробный разбор.

Выбрать другую задачу

Все темы математики для 5 класса

С какой задачи начать

Для делимости попробуйте числа, кратные пяти: важно учесть разряды и допустимые цифры. Затем сравните прямоугольники на сетке с кодами, в которых соседние цифры различны. В обоих случаях нужен полный перебор, но правила о допустимом варианте разные.

Как заниматься

Перед задачей о страницах проверьте, знакома ли часть от остатка: доля во второй день берётся от нового количества. В задачах на коды отдельно разберите запрет одинаковых соседей и разрешение повторить цифру через одну. В подсчёте фигур учитывайте квадрат как прямоугольник, если этого требует условие. Проверяется ваш итог; рисунок остаётся необязательной помощью. Подборка предназначена для тренировки и не воспроизводит вариант определённой олимпиады.

1

Числа, кратные пяти

Из карточек с цифрами 0, 2, 5 и 7 составляют трёхзначные числа без повторения карточек. Сколько среди них чисел, кратных 5? Ноль в начале числа ставить нельзя.

Пригодится: Разряды числа; признак делимости на 5; умножение вариантов.

Подсказка

На какие цифры может оканчиваться число, кратное 5? Рассмотри эти случаи отдельно.

Ответ и разбор

10 чисел.

  1. При последней цифре 0 первую можно выбрать из 2, 5 и 7, а вторую — из двух оставшихся: 3 × 2 = 6 чисел.
  2. При последней цифре 5 первая цифра 2 или 7, а вторая — одна из двух оставшихся, включая 0: 2 × 2 = 4 числа.
  3. Случаи не пересекаются, потому что последние цифры разные. Итого 6 + 4 = 10.
Вопрос для обсуждения

Почему ноль разрешён во втором разряде, но не в первом?

2

Часть от оставшихся страниц

В первый день прочитали четверть книги. Во второй день — треть оставшихся после первого дня страниц. После этого непрочитанными остались 30 страниц. Сколько страниц в книге? В оба дня прочитано целое число страниц.

Пригодится: Доли целого и часть от остатка; деление на 3 и 4.

Подсказка

После первого дня осталось три четверти книги. Какая доля всей книги прочитана во второй день?

Ответ и разбор

60 страниц.

  1. После первого дня осталось три четверти всей книги. Треть от этих трёх четвертей — одна четверть всей книги.
  2. За два дня прочитаны две четверти, то есть половина книги. Другую половину составляют 30 страниц.
  3. В книге 30 × 2 = 60 страниц. Проверка: в первый день прочитали 15, осталось 45; во второй 45 : 3 = 15, осталось 30.
Вопрос для обсуждения

Почему нельзя складывать четверть и треть как доли одной и той же величины?

3

Четыре фишки одного цвета

В мешке 6 красных, 5 синих и 4 зелёные фишки. Их достают не глядя. Какое наименьшее число фишек нужно достать, чтобы среди них обязательно оказалось не меньше четырёх одного цвета?

Пригодится: Счёт до 15; рассуждение о самом неудачном случае.

Подсказка

Какой самый большой набор ещё может не содержать четырёх одинаковых по цвету фишек?

Ответ и разбор

10 фишек.

  1. Без четырёх одинаковых по цвету можно достать не больше трёх фишек каждого из трёх цветов: 3 + 3 + 3 = 9. Такой набор возможен.
  2. Если достать десятую фишку, один из цветов встретится не меньше четырёх раз: иначе всего было бы не больше девяти.
  3. Девяти может не хватить, десяти достаточно всегда. Минимум — 10.
Вопрос для обсуждения

Изменится ли ответ, если зелёных фишек будет только две?

4

Все прямоугольники на сетке

Прямоугольник разделён на 2 ряда и 3 столбца одинаковых квадратных клеток. Сколько всего прямоугольников можно выделить по линиям сетки? Квадраты тоже считай прямоугольниками.

Пригодится: Квадрат как частный случай прямоугольника; перебор пар; умножение.

Подсказка

Любой прямоугольник задаётся двумя горизонтальными и двумя вертикальными линиями.

Ответ и разбор

18 прямоугольников.

  1. Горизонтальных линий три. Выбрать верхнюю и нижнюю границы можно тремя способами: первый ряд, второй ряд или оба ряда.
  2. Вертикальных линий четыре. Пары границ: 1–2, 1–3, 1–4, 2–3, 2–4 и 3–4 — шесть способов.
  3. Каждая пара горизонтальных границ сочетается с любой парой вертикальных. Всего 3 × 6 = 18.
Вопрос для обсуждения

Как изменится рассуждение для сетки из одного ряда и трёх столбцов?

5

Номер с двумя остатками

Целый номер больше 50 и меньше 80 при делении на 6 даёт остаток 5, а при делении на 7 — остаток 2. Какой это номер?

Пригодится: Деление с остатком; числа до 80.

Подсказка

Составь короткий список по первому остатку и проверь второй.

Ответ и разбор

65.

  1. При делении на 6 остаток 5 в этом промежутке дают 53, 59, 65, 71 и 77.
  2. Остатки этих чисел при делении на 7: 4, 3, 2, 1 и 0. Подходит только 65.
  3. Проверка: 65 = 6 × 10 + 5 и 65 = 7 × 9 + 2.
Вопрос для обсуждения

Можно ли начать с деления на 7? Сравни полученные списки.

6

Коды с разными соседними цифрами

Код состоит из трёх цифр. Разрешены цифры 0, 1 и 2; первая цифра не может быть нулём. Одинаковые цифры не должны стоять рядом, но первая и третья могут совпадать. Сколько разных кодов можно составить?

Пригодится: Позиции цифр; умножение вариантов; проверка ограничения соседства.

Подсказка

Сколько вариантов есть для каждого места, если предыдущая цифра уже выбрана?

Ответ и разбор

8 кодов.

  1. Первая цифра 1 или 2: два варианта.
  2. На втором месте любая из двух цифр, отличных от первой. На третьем — любая из двух, отличных от второй.
  3. Всего 2 × 2 × 2 = 8. С первой цифрой 1 это 101, 102, 120, 121; с первой цифрой 2 — 201, 202, 210, 212.
Вопрос для обсуждения

Почему код 121 разрешён, а 122 запрещён?

7

Пять соседних нечётных чисел

Задача со звёздочкой

Пять последовательных нечётных положительных чисел записали по возрастанию. Их сумма равна 185. Какое число записали первым?

Пригодится: Нечётные числа; последовательности с шагом 2; деление на 5.

Подсказка

Как связаны первое и пятое числа со средним? На сколько отличаются соседние нечётные числа?

Ответ и разбор

33.

  1. Первое и пятое числа вместе дают два средних; второе и четвёртое — тоже. Поэтому среднее число равно 185 : 5 = 37.
  2. Соседние нечётные числа отличаются на 2. Первое находится на два шага раньше среднего: 37 − 2 − 2 = 33.
  3. Проверка: 33 + 35 + 37 + 39 + 41 = 185. Все пять чисел нечётные.
Вопрос для обсуждения

Почему из среднего нужно вычесть 4, а не 2?

8

Двойки в нумерации

Задача со звёздочкой

Страницы тетради пронумеровали от 1 до 45 включительно. Сколько раз при записи всех номеров написали цифру 2? В числе 22 цифра 2 встречается два раза.

Пригодится: Десятки и единицы; подсчёт повторений; числа до 45.

Подсказка

Считай отдельно двойки в разряде десятков и в разряде единиц.

Ответ и разбор

15 раз.

  1. В десятках цифра 2 встречается в каждом номере от 20 до 29: это 10 раз.
  2. В единицах она встречается в номерах 2, 12, 22, 32 и 42: ещё 5 раз.
  3. Всего 10 + 5 = 15. Номер 22 учтён в обеих группах правильно: в нём две двойки.
Вопрос для обсуждения

Почему число номеров, содержащих двойку, отличается от ответа?

Что попробовать дальше

Выберите другую тему в разделе «Математика, 5 класс», решите логические задачи или найдите знакомые вычисления в каталоге. Как обсуждать решение без готового ответа, рассказываем в руководстве для родителей.