По полочкамВыбрать задания

Олимпиадные задачи по математике для 4 класса

Восемь олимпиадных задач по математике для 4 класса с ответами и подробными решениями. Перебирайте варианты, считайте фигуры, восстанавливайте числа и проверяйте ограничения. Рисунки помогают пробовать свои идеи, но пользоваться ими необязательно.

Выбрать другую задачу

Все темы математики для 4 класса

С какой задачи начать

Для перебора выберите чётные номера, для геометрии — квадраты на сетке, для логики — места зверят. Необходимые знания указаны у каждого задания.

Как работать с подборкой

Это собственная тренировочная подборка, а не вариант конкретной олимпиады. Решите одну задачу и объясните свой способ. Если используете перебор, проверьте, не пропущены ли варианты. Подсказка и готовый разбор находятся отдельно.

1

Чётные номера из карточек

Есть четыре карточки с цифрами 1, 3, 6 и 8. Сколько разных трёхзначных чётных чисел можно составить, если в одном числе каждую карточку разрешено использовать только один раз?

Пригодится: Трёхзначные числа, чётные цифры; полный перебор или умножение.

Подсказка

Начни с последней цифры чётного числа. Затем перебери первые две.

Ответ и разбор

12 чисел.

  1. В единицах может стоять 6 или 8: два варианта.
  2. Для каждого окончания в сотнях можно поставить одну из трёх оставшихся цифр, в десятках — одну из двух. Это 3 × 2 = 6 чисел.
  3. Для двух окончаний получаем 6 × 2 = 12 чисел. Выбор каждой позиции однозначно задаёт число, повторного счёта нет.
Вопрос для обсуждения

Как изменится число вариантов, если нужны нечётные числа?

2

Наклейки в альбоме

В понедельник Кира наклеила в альбом половину всех своих наклеек. Во вторник она наклеила половину оставшихся. После этого у неё осталось 9 наклеек. Сколько наклеек было сначала?

Пригодится: Половина количества; умножение на 2; обратные действия.

Подсказка

Восстанови количество перед вторником, затем перед понедельником.

Ответ и разбор

36 наклеек.

  1. После вторника осталась половина того, что было перед вторником. До него было 9 × 2 = 18 наклеек.
  2. Эти 18 — половина первоначального количества. Сначала было 18 × 2 = 36.
  3. Проверка: в понедельник наклеили 18 и осталось 18, во вторник наклеили 9 и осталось 9.
Вопрос для обсуждения

Какую часть первоначального количества составляют оставшиеся девять наклеек?

3

Три коробки с жетонами

В красной и синей коробках вместе 17 жетонов. В синей и зелёной — 19, в красной и зелёной — 22. Сколько жетонов в красной коробке?

Пригодится: Сложение и вычитание до 100; деление пополам.

Подсказка

Сравни две пары, в которых есть одна и та же коробка.

Ответ и разбор

10 жетонов.

  1. Сложим красную с синей и красную с зелёной: 17 + 22 = 39. Красную коробку учли дважды, остальные — по одному разу.
  2. Синяя и зелёная вместе дают 19. Убираем их: 39 − 19 = 20. Это удвоенное количество жетонов в красной.
  3. 20 : 2 = 10. Тогда в синей 7, в зелёной 12; проверка: 10 + 7 = 17, 7 + 12 = 19, 10 + 12 = 22.
Вопрос для обсуждения

Можно ли сначала узнать общее число жетонов во всех трёх коробках?

4

Три фишки одного цвета

В непрозрачном мешочке лежат 5 красных, 4 синих и 3 зелёных фишки. Их достают не глядя. Какое наименьшее число фишек нужно достать, чтобы среди них обязательно были хотя бы три фишки одного цвета?

Пригодится: Счёт до 12; рассуждение о самом неудачном случае.

Подсказка

Сколько фишек можно достать, всё ещё не имея трёх одного цвета?

Ответ и разбор

7 фишек.

  1. Можно достать по две фишки каждого цвета: 2 + 2 + 2 = 6. Тройки одного цвета ещё нет. Значит, шести недостаточно.
  2. Седьмая фишка будет одного из этих трёх цветов. Фишек этого цвета станет не меньше трёх.
  3. Следовательно, семи достаточно в любом случае, а шести может не хватить. Минимум — 7.
Вопрос для обсуждения

Почему один удачный набор из трёх фишек не доказывает, что трёх достаточно?

5

Квадраты на сетке

Прямоугольник разделён на 2 ряда и 3 столбца одинаковых квадратных клеток. Сколько всего квадратов можно увидеть на рисунке? Считай и те, которые состоят из нескольких клеток.

Пригодится: Квадрат и прямоугольник; счёт фигур разного размера.

Подсказка

Перебирай квадраты по размеру. Все ли квадраты равны одной клетке?

Ответ и разбор

8 квадратов.

  1. Маленьких квадратов по одной клетке: 2 × 3 = 6.
  2. Квадрат со стороной в две клетки помещается в сетке двумя способами: у левого и у правого края.
  3. Больший квадрат не поместится: высота сетки всего две клетки. Итого: 6 + 2 = 8.
Вопрос для обсуждения

Как объяснить, что большой прямоугольник из всех шести клеток не является квадратом?

6

Кто сидит справа?

Котёнок, щенок, зайчонок и курочка заняли четыре места в одном ряду. Котёнок сидит сразу слева от зайчонка. Щенок сидит правее зайчонка, а курочка не сидит с краю. Кто сидит на самом правом месте?

КотёнокЩенокЗайчонокКурочка

Пригодится: Порядок слева направо, соседство; перебор возможных мест.

Подсказка

Рассмотри котёнка и зайчонка как соседнюю пару. Где поместятся остальные?

Ответ и разбор

Щенок.

  1. Котёнок и зайчонок занимают соседние места, именно в таком порядке.
  2. Если пара занимает места 2 и 3, для щенка остаётся место 4, а курочке — крайнее место 1, что запрещено. На местах 3 и 4 пара стоять не может: щенку негде сесть правее зайчонка.
  3. Значит, пара занимает места 1 и 2, курочка — место 3, щенок — место 4. Проверка всех условий даёт один порядок.
Вопрос для обсуждения

Можно ли определить ответ, не расставляя зверят на рисунке?

7

Число на табличке

На табличке записано целое число, большее 40 и меньшее 60. При делении на 5 оно даёт остаток 2, а при делении на 3 — остаток 1. Какое число записано на табличке?

Пригодится: Деление с остатком, числа до 60.

Подсказка

Выпиши числа в нужных границах с остатком 2 при делении на 5.

Ответ и разбор

52.

  1. Между 40 и 60 остаток 2 при делении на 5 дают 42, 47, 52 и 57.
  2. Проверим деление на 3:42 делится без остатка, 47 даёт остаток 2, 52 — остаток 1, 57 делится без остатка.
  3. Подходит только 52:52 = 5 × 10 + 2 и 52 = 3 × 17 + 1.
Вопрос для обсуждения

Почему достаточно проверить только четыре числа?

8

Пять соседних чисел

Пять последовательных целых чисел записали по возрастанию. Их сумма равна 110. Какое число записали первым?

Пригодится: Последовательные числа; сложение до 110 и деление на 5.

Подсказка

Сравни пары чисел, которые стоят на одинаковом расстоянии от среднего.

Ответ и разбор

20.

  1. У пяти последовательных чисел среднее число стоит на третьем месте. Первое и пятое вместе дают удвоенное среднее; второе и четвёртое — тоже.
  2. Поэтому сумма пяти чисел равна пяти средним числам:110 : 5 = 22.
  3. Первое число на 2 меньше среднего:22 − 2 = 20. Проверка:20 + 21 + 22 + 23 + 24 = 110.
Вопрос для обсуждения

Почему можно найти среднее число делением общей суммы на 5?

Что попробовать дальше

Вернитесь в математику 4 класса, чтобы выбрать другую тему. Для практики со скоростью и временем выберите задачи на движение. Для другого сюжета откройте логические задачи 4 класса.